Szürreális számok

A szürreális számok fa-szerkezetű megjelenítése

A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak, amely tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. Bármely valós szám szürreális számokkal van körülvéve, amelyek közelebb vannak hozzá minden valós számnál. Ebben hasonlítanak a hiperreális számokra, de konstrukciójukban különböznek, viszont tartalmazzák a hiperreális számokat is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.

A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik. Conway eredetileg csak számoknak nevezte őket. Ez a könyv nem szakkönyv, hanem párbeszédes regény. A szürreális elnevezés francia eredetű, jelentése: valóságon túli. Az elnevezés Conwaynek is tetszett, és átvette. Leírta a szürreális számokat, és játékok, többek között a go elemzésére használta On Numbers and Games (1976) című könyvében.

Motiváció

A szürreális számok több szempontból is érdekesek. Két egyszerű művelettel keletkeznek a semmiből, azonban tulajdonságaikban hasonlítanak a valós számokra. Segítenek bebizonyítani a valós számok alapvető tulajdonságait is, például $x\leq x$, vagy ha $x=y$, akkor $x+z=y+z$. Lehetőséget adnak az absztrakt algebra módszereinek gyakorlására is. Conway a játékok elemzésére is felhasználta a számkört.

Mindezek mellett a szürreális számok a nem standard analízis számára is modellt alkotnak, amiben infinitezimális számok léteznek. Mielőtt azonban definiálnánk őket, tisztában kell lennünk azzal, hogy a konstrukciót halmazelméleti eszközökkel végezzük, tehát nem számtani műveletekkel.

Konstrukció

A szürreális számok konstrukciója a Dedekind-szeletekére hasonlít. A szám megadásához két halmazt kell definiálni, amelyek közül az egyik a kisebb, a másik a nagyobb számokat tartalmazza; ezeket a továbbiakban rendre L és R jelöli. A számot ez a két halmaz határozza meg, jelölése L | R. A két halmaznak csak azt a kikötést kell teljesítenie, hogy L összes elemének kisebbnek kell lennie R minden eleménél. Például a $\{\{1,2\}|\{5,8\}\}$ konstrukció érvényes 2 és 5 közötti számot ad; hogy melyiket, azt majd később meglátjuk. Ezek a halmazok üresek is lehetnek. Az $\{L|\emptyset \}$ értelmezése: egy szám, ami L minden eleménél nagyobb, és hasonlóan, $\{\emptyset |R\}$ jelentése: egy szám, ami R minden eleménél kisebb. A konstrukció rekurzívvá tevéséhez először a rendezést kell kiterjeszteni.

Konstrukciós és összehasonlítási szabály

Konstrukciós szabály: Legyenek L és R szürreális számokból alkotott halmazok. Ha az L és az R halmazokra teljesül, hogy R egy eleme sem kisebb vagy egyenlő, mint L elemei, akkor a halmazpár szürreális számot definiál.

Rendezési szabály: Az $x=\{L_{x}|R_{x}\}$ és az $y=\{L_{y}|R_{y}\}$ szürreális számokra akkor teljesül $x\leq y$, ha $y$ kisebb egyenlő, mint bármely eleme $L_{x}$-nek, és $R_{y}$ egy eleme sem kisebb egyenlő, mint $x$.

A jelölés egyszerűsítésére elhagyjuk a halmazok zárójeleit, és az üres halmazokat. Így például $\{a,b\,|\,x\}$ ugyanaz, mint $\{\{a,b\}|\{x\}\}$, illetve $\{|a\}$ megegyezik az $\{\emptyset \,|\,\{a\}\}$ szürreális számmal. A kisebb-egyenlő szabályt teljesítő $\{L|R\}$ objektumot jólformáltnak is nevezik, hogy megkülönböztessék a nem jólformált objektumokról, amikről később a játékok kapcsán lesz szó.

Relációk

A szürreális számok megfelelő relációkkal teljesen rendezhetők. Azonban a fent bevezetett $\leq$ reláció még nem antiszimmetrikus, csak a reflexív és a tranzitív tulajdonságokat teljesíti. Ez azt jelenti, hogy abból, hogy $x\leq y$ és hogy $y\leq x$, nem következik, hogy $x=y$. Ezen lehet segíteni az == reláció bevezetésével:

Legyen $x==y$, ha $x\leq y$ és $y\leq x.$

Ez egy ekvivalenciareláció, aminek osztályai teljesen rendezettek. Ha x és y ugyanahhoz az ekvivalenciaosztályhoz tartozik, akkor ugyanazt a szürreális számot jelölik. Az x ekvivalenciaosztályát [x] jelöli, ahol x az ekvivalenciaosztályt reprezentálja. Ez az eljárás hasonló a törtek hányadosként való bevezetéséhez, vagy a valós számok Cauchy-sorozatokkal való definiálásához.

Példák

Az első példa a két üres halmazzal definiált szürreális szám, mégpedig: $\{|\}=\{\emptyset |\emptyset \}$. Ez megfelel a konstrukciós szabálynak, mivel az üres halmazok nem tartalmaznak elemeket, amelyek megsértik a konstrukciós szabályt. Ezt a számot $\mathbf {0}$ jelöli, és $[\mathbf {0} ]$ ekvivalenciaosztályát egyszerűen úgy írjuk, hogy 0. Az összehasonlítás szabálya szerint

$\mathbf {0} \leq \mathbf {0}$.

A konstrukciós szabály alapján kapjuk a következő számokat:

$\{\mathbf {0} |\},\{|\mathbf {0} \}$ és $\{\mathbf {0} |\mathbf {0} \}$

Az utolsó szám nem jólformált a $\mathbf {0} \leq \mathbf {0}$ szabály miatt. Tehát az eddigi számok így rendezhetők:

$\{|\mathbf {0} \}<\mathbf {0} <\{\mathbf {0} |\}$

Itt $x<y$ azt jelenti, hogy nem teljesül $y\leq x$. Ezeket az új számokat így jelöljük: $\{|\mathbf {0} \}=:\mathbf {-1}$ és $\{\mathbf {0} |\}=:\mathbf {1}$ és ekvivalenciaosztályaikat $-1$ és $1$. Mivel az ekvivalenciaosztályok eddig csak egy elemet tartalmaznak, a rendezés írható, mint

$-1<0<1$.

Még egyszer alkalmazva a konstrukciót az eddigi számokra a nem jólformáltak mellett a következő jólformáltakat kapjuk:

$\{|\mathbf {-1} \}==\{|\mathbf {-1} ,\mathbf {0} \}==\{|\mathbf {-1} ,\mathbf {1} \}==\{|\mathbf {-1} ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} \}<$

$\{|\mathbf {0} ,\mathbf {1} \}==\mathbf {-1} <$

$\{\mathbf {-1} |\mathbf {0} \}==\{\mathbf {-1} |\mathbf {0} ,\mathbf {1} \}<$

$\{\mathbf {-1} |\}==\{|\mathbf {1} \}==\{\mathbf {-1} |\mathbf {1} \}==\mathbf {0} <$

$\{\mathbf {0} |\mathbf {1} \}==\{\mathbf {-1} ,\mathbf {0} |\mathbf {1} \}<$

$\{\mathbf {-1} ,\mathbf {0} |\}==\mathbf {1} <$

$\{\mathbf {1} |\}==\{\mathbf {0} ,\mathbf {1} |\}==\{\mathbf {-1} ,\mathbf {1} |\}==\{\mathbf {-1} ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} |\}$

A következő megfigyeléseket tehetjük:

1. Négy új ekvivalenciaosztályunk van, $[\{|\mathbf {-1} \}]$, $[\{\mathbf {-1} |\mathbf {0} \}]$, $[\{\mathbf {0} |\mathbf {1} \}]$ és $[\{\mathbf {1} |\}]$
2. Mindegyik osztály egynél több elemet tartalmaz
3. A szürreális szám értéke csak a legnagyobb bal és a legkisebb jobb elemtől függ.

Az első megfigyelés azt a kérdést veti fel, hogy hogyan értelmezzük az új osztályokat. Mivel $\{|\mathbf {-1} \}$ kisebb, mint a $-1$, azért ez tekinthető a $\mathbf {-2}$ számnak; ennek ekvivalenciaosztálya $-2$. Hasonlóan, az $\{\mathbf {1} |\}$ számot $\mathbf {2}$-nek nevezzük; $\{\mathbf {-1} |\mathbf {0} \}$ a $-1$ és a $0$ között van, ezért azonosítjuk a $\mathbf {-1/2}$ számmal, és hasonlóan $\{\mathbf {0} |\mathbf {1} \}$ lesz az $\mathbf {1/2}$. Tehát az új ekvivalenciaosztályokat $-2$, $2$, $-1/2$ és $1/2$ jelöli. A szorzás és az összeadás bevezetése után ezt majd még jobban fogjuk látni.

A második megfigyelés ahhoz a kérdéshez vezet, hogy továbbra is azonosíthatjuk-e a szürreális számokat ekvivalenciaosztályukkal. A válasz igenlő, mivel:

Ha $[L_{x}]=[L_{y}]$ és $[R_{x}]=[R_{y}]$, akkor $[\{L_{x}|R_{x}\}]=[\{L_{y}|R_{y}\}]$.

Itt $[X]=\{[x]:x\in X\}$ az $X$ elemeinek ekvivalenciaosztályaiból alkotott halmaz. Így a fentieket írhatjuk úgy is, mint:

$\{|-1\}=\{|-1,0\}=\{|-1,1\}=\{|-1,0,1\}=:-2<$

$\{|0,1\}=-1<$

$\{-1|0\}=\{-1|0,1\}=:-1/2<$

$\{-1|\}=\{|1\}=\{-1|1\}=0<$

$\{0|1\}=\{-1,0|1\}=:1/2<$

$\{-1,0|\}=1<$

$\{1|\}=\{0,1|\}=\{-1,1|\}=\{-1,0,1|\}=:2$

vagy rövidebben:

$-2<-1<-1/2<0<1/2<1<2$.

A harmadik megfigyelés szerint tetszőleges szürreális szám általánosítható véges jobb és bal halmazával. Így az $\{1,2|5,8\}$ szürreális szám megegyezik a $\{2|5\}$ szürreális számmal. Az elemeket megadó halmazok végtelenek is lehetnek, ezért ebben az esetben nem biztos, hogy van legnagyobb vagy legkisebb elem.

Műveletek

A szürreális számokon végzett műveleteket így definiálják:

Összeadás

$x+y=\{(L_{x}+y)\cup (x+L_{y})\;|\;(R_{x}+y)\cup (x+R_{y})\}$

Ellentett

$-x=\{-R_{x}\,|\,-L_{x}\}$

Szorzás

$x\cdot y=\{(L_{x}\cdot y+x\cdot L_{y}-L_{x}\cdot L_{y})\,\cup \,(R_{x}\cdot y+x\cdot R_{y}-R_{x}\cdot R_{y})\;|\;(L_{x}\cdot y+x\cdot R_{y}-L_{x}\cdot R_{y})\,\cup \,(R_{x}\cdot y+x\cdot L_{y}-R_{x}\cdot L_{y})\}$.

ahol a $+,-,\cdot$ az operátorok halmazelméleti kiterjesztései, például

$X+y=\{x+y:x\in X\}$,

$-X=\{-x:x\in X\}$

és

$X+Y=\{x+y:x\in X,\,y\in Y\}$

Ezek a műveletek jóldefiniáltak abban az értelemben, hogy nem vezetnek ki a jóldefiniált szürreális számok halmazából. Megállapítható, hogy a fenti jelölések megfelelnek várakozásainknak, ugyanis

$\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$, $\mathbf {1} +\mathbf {1} =\mathbf {2}$, $-(\mathbf {1} )=\mathbf {-1}$ és $\mathbf {1/2} +\mathbf {1/2} ==\mathbf {1}$.

(Ügyeljünk a különbségre: $=$ az egyenlőség, és $==$ az ekvivalencia!)

A műveletek átvihetők az ekvivalenciaosztályokra, ugyanis

$[x]=[x']$ és $[y]=[y']$ miatt $[x+y]=[x'+y']$ és $[-x]=[-x']$ és $[x\cdot y]=[x'\cdot y']$.

jóldefinált műveletek az ekvivalenciaosztályokkal. Végül belátható, hogy az ekvivalenciaosztályokon végezhető műveletek bírnak azokkal a tulajdonságokkal, amiket elvárunk az összeadástól, az ellentettképzéstől és a szorzástól.

Az ekvivalenciaosztályok a rendezéssel és a műveletekkel teljesítik a rendezett test tulajdonságait, de mivel nem alkotnak halmazt, ezért ez nem rendezett test.

A következőkben nem különböztetjük meg egymástól az ekvivalenciaosztályokat és a szürreális számokat.

Generálás teljes indukcióval

Eddig nem vizsgáltuk részletesen, hogy milyen számok kaphatók meg a konstrukciós szabállyal, és melyek nem. Azokkal a számokkal kezdünk, amelyek véges sok lépésben megkaphatók. Induktívan definiáljuk az $S_{n}$ halmazokat minden $n$ természetes számra:

• $S_{0}=\{0\}$
• $S_{i+1}$ az $S_{i}$ halmazhoz hozzávesszük azokat a szürreális számokat, amelyek egy lépésben konstruálhatók $S_{i}$ részhalmazaiból.

Az összes, valamelyik $S_{i}$ halmazban megtalálható szürreális szám halmazát $S_{\omega }$-nak nevezzük. Az első néhány halmaz a következő:

$S_{0}=\{0\}$

$S_{1}=\{-1<0<1\}$

$S_{2}=\{-2<-1<-1/2<0<1/2<1<2\}$

$S_{3}=\{-3<-2<-1\,1/2<-1<-3/4<-1/2<-1/4<0<1/4<1/2<3/4<1<1\,1/2<2<3\}$

Ez alapján észrevehetjük a következőket:

• Egész számok: a maximum mindig eggyel nő, a minimum eggyel csökken.
• Törtek: minden eddigi szomszédos szám között megjelenik egy új szám.

Eszerint minden diadikus törtet megkapunk, vagyis azokat a törteket, amelyek $a/2^{b}$ alakúak, ahol a és b egészek. Más törtek azonban nincsenek $S_{\omega }$-ban.

A végtelenig, és azon is túl

Miután már megkaptuk az $S_{\omega }$ halmazt, tovább folytathatjuk a generálást. Így kapjuk az $S_{\omega +1}$, $S_{\omega +2}$ halmazokat, amelyek most mindkét oldalon végtelen számú elemet tartalmaznak. Transzfinit indukcióval minden a rendszámhoz definiálhatunk S_a halmazt.

A szürreális szám születésnapjának nevezzük azt az a rendszámot, amire S_a tartalmazza a szürreális számot, de egyetlen kisebb rendszámú halmazban sincs benne a szürreális szám. Például a 0 születésnapja 0, az 1/2 születésnapja 2.

Megmutatható, hogy $\{\{a\}|\{b\}\}$ a legöregebb szürreális számot határozza meg a és b között. A fent megadott $\{\{1,2\}|\{5,8\}\}$ szám egyenlő a $\{2|5\}$ számmal, és a legöregebb szám $2$ és $5$ között a 3.

Már az $S_{\omega +1}$-ben találhatunk törteket, amelyek nem voltak jelen $S_{\omega }$-ban. Például

$\mathbf {1/3} =\{\{a/2^{b}\in S_{\omega }|3a<2^{b}\}|\{a/2^{b}\in S_{\omega }|3a>2^{b}\}\}$.

A definíció korrektségét mutatja, hogy: $\mathbf {3} \cdot (\mathbf {1/3} )==\mathbf {1}$.

Az $S_{\omega +1}$ tartalmazza az összes valós számot. Ezt az intervallumok skatulyázása mutatja meg, amivel minden egyes valós szám egyértelműen előáll. Az $S_{\omega }$ már tartalmazza a $k/2^{j}$ alakú számokat. Ezekkel a számokkal mint határpontokkal már minden valós szám skatulyázható. A kisebb végpontokat felvesszük a bal, a nagyobb végpontokat a jobb halmazba, és ezzel már meg is adtuk a valós számot.

De $S_{\omega +1}$ más számokat is tartalmaz, például a következő infinitezinális számot:

$\mathbf {\varepsilon } =\{0|...,1/16,1/8,1/4,1/2,1\}$.

Könnyű látni, hogy ez a szám pozitív, de minden pozitív törtnél kisebb. A szürreális számok között nem ez az egyedüli infinitezimális szám, hiszen:

$2\varepsilon =\{\varepsilon |\ldots ,\varepsilon +1/16,\varepsilon +1/8,\varepsilon +1/4,\varepsilon +1/2,\varepsilon +1\}$,

$\varepsilon /2=\{0|\varepsilon \}$.

amelyeket az $S_{\omega +2}$ tartalmaz.

Emellett végtelen nagy számok is találhatók már $S_{\omega +1}$-ben, mint például

$\mathbf {w} =\{S_{\omega }|\}$.

Ez a szám nagyobb, mint $S_{\omega }$ minden eleme, többek között mint minden egész szám. Megfelel az $\omega$-nak, ami $S_{\omega }$ címkéje. Ekvivalensen,

$\mathbf {w} ==\{1,2,3,4,\ldots |\}$.

Minden rendszám megjelenik a szürreális számok között.

Mivel az összeadás és a szorzás minden szürreális számra definiálva van, az $\omega$ szürreális számmal ugyanúgy számolhatunk, mint a többivel:

$\omega +1=\{\omega |\}$ és

$\omega -1=\{S_{\omega }|\omega \}$.

Ez nagyobb tagokra is teljesül:

$\omega +2=\{\omega +1|\}$,

$\omega +3=\{\omega +2|\}$,

$\omega -2=\{S_{\omega }|\omega -1\}$,

$\omega -3=\{S_{\omega }|\omega -2\}$

és még magával az $\omega$ szürreális számmal:

$\omega +\omega =\{\omega +S_{\omega }|\}$

ahol $x+Y=\{x+y|y\in Y\}$ mint fent.

Ahogy $2\cdot \omega =\omega +\omega$ nagyobb, mint $\omega$, az $\omega /2$ kisebb, mint $\omega$, mivel

$\omega /2=\{S_{\omega }|\omega -S_{\omega }\}$

ahol $x-Y=\{x-y|y\in Y\}$.

Végül megtaláljuk az összefüggést $\omega$ és $\varepsilon$ között, hiszen

$\varepsilon \cdot \omega =1$.

Ügyelni kell arra, hogy ebben a számkörben másként viselkednek a rendszámok, mint egyébként: rendszámként $1+\omega =\omega <\omega +1$, míg szürreális számként $1+\omega =\omega +1>\omega$.

A szürreális számok konstrukciójával annyi szám konstruálható, hogy nincs halmaz, ami befogadná az összest; a szürreális számok valódi osztályt alkotnak, ezért nem alkotnak rendezett testet sem.

Mivel minden szürreális szám megalkotható nála öregebb szürreális számokból, használható a transzfinit rekurzió elve. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha egy tulajdonság teljesül $X_{L}$ és $X_{R}$ elemeire, akkor az $x=\{X_{L}|X_{R}\}$ szürreális számra is teljesül.

Alternatív definíciók

Előjelfüggvények

Egy alternatív értelmezésben a szürreális számok a rendszámokból a { −1, +1 } halmazba képező függvények. Két ilyen függvény közül x egyszerűbb, mint y, ha x leszűkítése y-nak, vagyis minden olyan helyen, ahol x értelmezve van, ott y is értelmezve van, és értékeik megegyeznek.

A szürreális számok értelmezéséhez az értelmezési tartományon kívüli elemeket -1-nél nagyobbnak és 1-nél kisebbnek tekintjük. Így x < y, ha ezek közül valamelyik teljesül:

• x egyszerűbb, mint y, és y(dom(x)) = + 1;
• y egyszerűbb, mint x, és 'x(dom(y)) = − 1;
• van egy z, hogy z egyszerűbb, mint x és y, és x(dom(z)) = − 1 és y(dom(z)) = + 1.

Ekvivalensen, legyen δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α : α < dom(x) ∧ α < dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α) }), úgy, hogyx = y akkor és csak akkor, ha δ(x,y) = dom(x) = dom(y). Ekkor az x és y számokra x < y akkor és csak aklkor teljesül, ha:

• δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = + 1;
• δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1;
• δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1 ∧ y(δ(x,y)) = + 1.

Az x és y számokra x ≤ y akkor és csak akkor, ha x < y ∨ x = y, és x > y akkor és csak akkor, ha y < x. Tehát x ≥ y akkor és csak akkor, ha y ≤ x.

Az így bevezetett < reláció tranzitív, és trikhotómia is teljesül, azaz akárhogy választjuk az x, y számokat, x < y, x = y, vagy x > y valamelyike fennáll. Ez azt jelenti, hogy < teljes rendezés (egy valódi osztályon).

Az L és R halmazokra, ha ∀x ∈ L ∀y ∈ R (x < y), akkor egyértelműen van egy z szám, hogy

• ∀x ∈ L (x < z) ∧ ∀y ∈ R (z < y),
• Minden w számra, amire ∀x ∈ L (x < w) ∧ ∀y ∈ R (w < y), w = z vagy z egyszerűbb, mint w.

Továbbá z konstruálható az L és R halmazokból transzfinit indukcióval: z a legegyszerűbb szám L és R között. Jelölje ezt az egyértelmű z számot σ(L,R).

Egy x számra definiáljuk az L(x) bal és az R(x) jobb halmazt a következőképpen:

• L(x) = { x|_α : α < dom(x) ∧ x(α) = + 1 };
• R(x) = { x|_α : α < dom(x) ∧ x(α) = − 1 },

akkor σ(L(x),R(x)) = x.

A konstrukció előnye az, hogy az egyenlőséget eleve ekvivalenciarelációként vezeti be. Hátránya az, hogy Conway konstrukciójával szemben a rendszámokat már meglevőnek és rendezettnek tételezi fel, míg Conway konstrukciójában a szürreális számokkal együtt vannak megkonstruálva.

Vannak hasonló konstrukciók, amelyek elkerülik a szürreális számok rendezését. A függvényeket az eddig definiált szürreális számokon értelmezzük, értékkészletük { −, + }; továbbá feltesszük, hogy ∀g ∈ dom f (∀h ∈ dom g (h ∈ dom f )). Ezzel az egyszerűbb, mint definíciója is egyszerű: x egyszerűbb, mint y, ha x ∈ dom y. A teljes rendezés az összes elemet rendezett párnak tekinti: vagy x = y, vagy a z = x ∩ y szürreális szám x vagy y (vagy mindkettő) értelmezési tartományában van. Ekkor teljesül x < y, ha x(z) = − vagy y(z) = + . Az előjelsorozatokká való konvertáláshoz fel kell sorolni az értelmezési tartomány elemeit egyszerűség szerint, és hozzájuk leírni az előjeleket. Ezek közül azok lesznek a rendszámok, melyek értékkészlete { + }.

Összeadás és szorzás

Az x és y számok összegét dom(x) és dom(y) halmazok indukciója alapján definiálhatjuk:

x + y = σ(L,R), ahol

• L = { u + y : u ∈ L(x) } ∪{ x + v : v ∈ L(y) },
• R = { u + y : u ∈ R(x) } ∪{ x + v : v ∈ R(y) }.

A nullelem a 0 = { }, vagyis a nulla az üres függvény. Ha x szám, akkor ellentettje −x, ahol dom(− x) = dom(x), és az értékek ellentettjükre változnak, azaz α < dom(x), (− x)(α) = − 1 ha x(α) = + 1, és (− x)(α) = + 1 ha x(α) = − 1.

Következik, hogy ha x szürreális szám, akkor x pozitív, ha 0 < dom(x), és x(0) = + 1, és x negatív, ha 0 < dom(x) és x(0) = − 1.

Ha x és y szürreális számok, akkor szorzatukat xy jelöli. Ezt induktívan definiáljuk a következőképpen:

dom(x) és dom(y) alapján xy = σ(L,R), ahol

• L = { uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y) } ∪ { uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y) },
• R = { uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y) } ∪ { uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y) }.

Az egységelem az 1 = { (0,+ 1) } szürreális szám, 1(0) = + 1.

Megfeleltetés Conway konstrukciójával

Conway reprezentációjáról az előjelekre ezzel térhetünk át: f({ L | R }) = σ(M,S), ahol M = { f(x) : x ∈ L } és S = { f(x) : x ∈ R }.

Conway reprezentációjára úgy térhetünk át, hogy g(x) = { L | R }, ahol L = { g(y) : y ∈ L(x) } és R = { g(y) : y ∈ R(x) }.

Axiomatikus megközelítés

Alling a közvetlen konstrukció helyett axiómákkal építette fel a szürreális számokat. Axiómarendszere izomorfizmus erejéig egyértelműen jellemzi a szürreális számokat.

Egy $\langle \mathbf {No} ,\mathrm {<} ,b\rangle$ hármas szürreális számrendszer, ha teljesíti a következőket:

• < teljes rendezése No-nak.
• értelmezve van egy b születésnapfüggvény No-ról a rendszámokba.
• Legyenek A és B részosztályai No-nak, hogy minden x ∈ A és y ∈ B elemre x < y, vagyis 〈 A,B 〉No Conway-szelete. Ekkor van egy z ∈ No, hogy b(z) minimális, és minden x ∈ A és y ∈ B-re x < z < y. (Conway egyszerűségi tétele).
• Továbbá, ha α nagyobb, mint b(x) minden x ∈ A, B elemre, akkor b(z) ≤ α. Alling megfogalmazásában ez teszi teljessé a szürreális számrendszert.

Conway konstrukciója és az előjelfüggvényes konstrukció megfelel ezeknek az axiómáknak.

Ezekkel az axiómákkal Alling levezette Conway definícióját a ≤ relációra és megalkotta az aritmetikát is.

Hahn-sorok

Alling azt is belátta, hogy a szürreális számok struktúrája izomorf a valós együtthatós Hahn-sorozatokkal, amiknek értékei éppen a szürreális számok. Ez kapcsolatot teremt a szürreális számok és a rendezett testek elméletének konvencionálisabb matematikai megközelítése között.

Ez az izomorfizmus a szürreális számokat megfelelteti egy értékkel ellátott testnek, ahol a kiértékelés additív inverze a Conway-normálforma főegyütthatójának kitevőjének, például ν(ω) = -1. Ez a kiértékelésgyűrű a véges szürreális számokból áll. Az előjel megváltoztatása arra vezethető vissza, hogy a Conway-normálforma egy jólrendezett halmaz megfordítása, míg a Hahn-sorokat az értékcsoport jólrendezett részhalmazaival definiálják.

Halmazelméleti fontosság

A szürreális számok valódi osztályt alkotnak a Zermelo-Fraenkel halmazelméleti axiómarendszerben. Ez belátható azzal, hogy már maguk a rendszámok is valódi osztályt alkotnak. Mivel a definíció halmazokat említ, ezért a valódi osztályok nem kerülhetnek az egyik oldalra sem. Nem lehet az egyik sem egyenlő az összes szürreális számmal, vagy csak az összes rendszámmal, így elkerülhetők bizonyos paradoxonok.

Kapcsolat a hiperreális számokkal

Philip Ehrlich izomorfizmust konstruált a Conway konstrukciójával felépített szürreális számok és a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet maximális hiperreálisai között.

Komplexen túli számok

A komplexen túli számok a komplex számokhoz hasonlóan képezhetők a szürreális számokból, vagyis $a+bi$ alakúak, ahol a és b szürreális szám. A komplexen túli számok algebrailag zárt testszerű struktúrát alkotnak, ami izomorf a racionális számok független transzcendens elemekből alkotott valódi osztályával vett kiterjesztésével generált test algebrai lezártjával. Izomorfia erejéig ez jellemzi a komplexen túli számokat.

Általánosítás

A konstrukció a halmaz szó mellett még azt a kikötést is tartalmazza, hogy a bal halmaz elemei kisebbek a jobb halmaz elemeinél. Ha ezt a korlátozást elhagyjuk, akkor a játék fogalmához jutunk. Tehát a játékok konstrukciós szabálya:

Ha $L$ és $R$ játékok halmaza, akkor $\{L|R\}$ játék.

Az összehasonlítás és a műveletek definíciója ugyanaz, mint a szürreális számoknál.

Minden szürreális szám játék, de fordítva ez már nem igaz; vannak nem jól formált játékok is, például a $\{\mathbf {0} |\mathbf {0} \}$. A játékok osztálya általánosabb, és nem is teljesül rájuk az összes tulajdonság, mint ami a szürreális számokra. Nem alkotnak rendezett testhez hasonló struktúrát, mivel a rendezés csak részben rendezés. A szürreális számok lehetnek pozitívok, negatívok, és nullával egyenlők; egy játék lehet, hogy nem hasonlítható össze a nullával, ekkor fuzzynak nevezzük. Sőt, már maga a testszerűség is sérül, hiszen ha $x$, $y$, $z$ játékok, és $x==y$, akkor nem biztos, hogy $x\cdot z==y\cdot z$.

Kapcsolat a játékelmélettel

Eredetileg a go motiválta a szürreális számokat, és számos kapcsolat áll fenn ismert játékok és a szürreális számok között. A játékról a következőket tesszük fel:

• Determinisztikus, nincs kockadobás vagy kártyapakli.
• Ketten játszanak, Bal és Jobb.
• Nincsenek rejtett információk, mint a lefordított kártyalapok.
• A játékosok felváltva lépnek.
• Minden játék véges sok lépés után véget ér valamelyik játékos győzelmével.
• Ha egy játékos nem tud lépni, akkor veszít, és a játék véget ér. A sakkban lehet, hogy ilyenkor döntetlen az eredmény.

Ilyen játék a sakk, a dáma, a go és a malom, de nem ilyen a legtöbb kártyajáték.

A legtöbb játékban kezdetben a két játékos helyzete szimmetrikus. Nem ilyen például a hnefatafl. A játék folyamán az egyes lépések nyomán kialakulnak olyan helyzetek, amelyikben az egyik fél előnyben van, például gyalogelőny, vagy helyzeti előny a sakkban. A parti elemzéséhez minden álláshoz hozzárendelnek egy játékot. Egy helyzet értéke egy $\{L|R\}$ játék, ahol L tartalmazza azokat a helyzeteket, amiket Bal lépése hozhat létre, és R azokat a helyzeteket, amelyek Jobb lépése nyomán jöhetnek létre. Ez a módszer érdekes eredményeket ad. Tegyük fel, hogy két, tökéletesen játszó játékos egy olyan helyzetben találja magát, amit egy x játék ír le. Ekkor a következőképpen meg lehet jósolni a győztest:

• Ha $x>0$, akkor Bal nyer.
• Ha $x<0$, akkor Jobb nyer.
• Ha $x=0$, akkor a lépésen levő játékos veszít.
• Ha x fuzzy, akkor a lépésen levő játékos nyer.

Egyes játékokban a végjátékban a játék több különálló részre esik szét. Ilyen például a go, amiben a semleges terület több kisebb részre szakad, amelyek mindegyike önálló kis gopartiként viselkedik. Hasznos lenne ezeket külön elemezni, és az eredményeket kombinálni, Ez azonban nem könnyű feladat. Lehet, hogy külön-külön ugyanaz a játékos nyerne, de együtt már a másik játékos nyer. Azonban ennek is megvan a módja:

Tétel: Ha egy parti két kisebb, független partira osztható, amiket az x és y játékok adnak meg, akkor az összjáték az x + y játékkal jellemezhető.

Szavakkal: A parti megkapható független részjátékainak összegeként.

Történetük

Conway a szürreális számokat csak a játékok után fedezte fel. A játékokra lazább szabályok vonatkoznak; a nem jólformált szürreális számok is játékok. A go végjátékait elemezte, és olyan módszert próbált kidolgozni, amivel kombinálhatók az egyes részjátékok. Így fejlesztette ki a kombinatorikus játékelméletet, amiben a játékokra definiálható az összeadás, az ellentettképzés és az összehasonlítás. Csak később vette észre, hogy a játékok egy bizonyos osztálya érdekes tulajdonságokkal bír, és ellátta őket szorzással, amivel teljesülnek a kívánt tulajdonságok, és amivel megmutatható, hogy a valós számok is közöttük vannak.

Források

• http://www.tondering.dk/download/sur16.pdf Claus Tøndering: Bevezetés a szürreális számok körébe.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Surreale Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Surreal number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.